terça-feira, 5 de outubro de 2010

Quadrilateros

Uma demonstração... para a propriedade dos quadriláteros obtidos pelos pontos médios de outro quadrilátero

Os triângulos [ABC] e [FBG] são semelhantes:
O ângulo em B é comum;
AB = CB = 2
FB     GB

( mais o critério de semelhança que afirma que se dois triângulos têm um ângulo igual e os lados que o formam directamente proporcionais, então eles são semelhantes)
Então ÐBFG = ÐBAC e portanto FG é paralelo a AC.

Analogamente, usando os triângulos [ADC] e [EDH], conclui-se que AC é paralelo a EH.
Portanto, por transitividade da relação de paralelismo, vem que FG é paralelo a EH.

Da mesma forma:
Usando os triângulos [HCG] e [DCB] vem que GH é paralelo a BD;
Usando os triângulos [EAF] e [DAB] vem que FE é paralelo a BD.
Portanto, GH é paralelo a FE.
1 - Três dos ângulos de um quadrilátero medem 55º 18', 107º 47' e 99º 11'. Determinar a medida do outro ângulo.

2 - O ÐA e o ÐC do quadrilátero ABCD são complementares. Determinar as medidas do ÐB e do ÐD, sabendo que aquele tem menos 25º 46' do que este.

3 - Dois dos ângulos de um quadrilátero são rectos; qual é a relação entre os outros dois? Justificar a resposta.

4 - Num trapézio isósceles os ângulos adjacentes à mesma base são representados por 2x+15º e 3x-25º. Determinar a medida de cada um dos ângulos do trapézio.

5 - 
 
a) Se ABCD for um trapézio isósceles, Ðc=80º e Ðd=20º, quanto mede cada um dos ângulos do trapézio?
b) Se ABCD for um trapézio escaleno, Ðe=60º, ÐB=110º e CD^AE, quanto mede cada um dos ângulos do trapézio?
c) ABCD é um trapézio em que ÐD=60º, Ðc=85º e ÐB=130º, quanto mede o Ðe?
d) ABCD é um trapézio em que ÐBCE=160º e Ðe=50º, quanto mede o ÐB?

6 - 
Pretende-se abri um túnel numa montanha de A  para B, tendo sido determinada a direcção AE de tal forma que o seu prolongamento passa por B. Mas pretendendo também trabalhar de B na direcção de A, determinou-se ÐEAD=82º, ÐADC=98º e ÐDCB=112º. Quantos graus deve medir o ÐCBF para que o prolongamento de BF passe por A. 

7 - 
a) Pretende-se medir a distancia dos pontos A e B separados por um lago. Marcou-se, para isso, A=105º, B=75º e AD=BC. Demonstre que CD é igual à distância pretendida.
b) Qual a relação entre os ângulos A e B por forma a que, sendo AD=BC, a distância entre C e D seja igual à distância entre A e B. Justificar a resposta.

8 - Demonstre a seguinte proposição:
        "A paralela, tirada às bases de um trapézio pela intersecção das diagonais, é dividida por este ponto em duas partes iguais."
1 - 97º 44'        
2 - ÐB=122º 7' e ÐD=147º 53'        
3 - São suplementares. Justificação:
Sendo a soma dos ângulos internos de um quadrilátero de 360º e dois deles medindo 90º cada um então a soma dos outros dois é de 180º, ou seja, são suplementares.
4 - 85º e 95º        
5 - a) ÐA=ÐD=60º e ÐB=ÐC=120º    b) ÐA=70º, ÐC=100º e ÐD=80º    c) 25º    d) 110º        
6 - 68º
7 - 
a) Demonstração
Temos
 
AC = BD
Queremos provar:
AB = CD
Consideremos o quadrilátero ABCD.
AB intersecta AC e BD.
  
Como a+75º=180º => a=105º
Logo a=ÐA. Logo AC//BD
CD intersecta AC e BD.
Como AC//BD logo b=g.
Portanto
Consideremos os triângulos rectângulos ACC' e BDD' resultantes:
  • Da perpendicular a AB que passa por C, sendo C' a intersecção dessa perpendicular com AB;
  • Da perpendicular a AB que passa por D, sendo D' a intersecção dessa perpendicular com AB.
Como ÐBDD'=ÐACC', os triângulos BDD' e ACC' têm dois ângulos geometricamente iguais, logo são semelhantes. 
Como AC=BD então os triângulos ACC' e BDD' são iguais.
Logo CC'=DD'
Logo CD//C'D', como C'D'=AB, então
CD//AB
Como AC intersecta AB e CD
Logo
ÐC=b=180º-ÐA=75º
ÐD=180º-b=105º
Logo temos:



Logo AB=CD.



b) Os ângulos A e B tem que ser suplementares. Justificação:
Observar que no caso anterior  para que a=ÐA basta que A e B sejam suplementares. E o resultado segue-se, mutatis mutandis.

8 - 
Descrição dos passos da demonstração
a) Estabelecer uma relação entre os segmentos AM, AD, MO e DC e justificar.
b) Estabelecer uma relação entre os segmentos BN, BC, ON e DC e justificar.
c) Estabelecer uma relação entre os segmentos AM, AD, BN e BC e justificar.
d) Estabelecer uma relação entre os segmentos MO, DC, ON e DC e justificar.
e) Estabelecer a tese e justificar.
Demonstração
Passos Justificação
a)   AM = MO
      AD     DC

a) Porque os segmentos contados a partir do ponto de encontro de duas transversais até duas //s, são directamente proporcionais aos segmentos de //s compreendidos entre as transversais.
b)    BN = ON 
      BC    DC

b) Pela mesma razão anterior.
c)   AM = BN
      AD     BC
c) Porque um feixe de //s determina em duas transversais segmentos directamente proporcionais.
d)   MO = ON
      DC     DC

d) Pelas alíneas a, b e c.
e)    MO = ON
e) Porque se duas fracções são iguais, e têm denominadores iguais, os numeradores também o são.

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